集合の基本的定義
集合の基礎定義
$A,B$:集合$x \in A$ に対して、一意に$y \in B$を対応させることができるとき、これを"写像"とよび、
$f:A \rightarrow B$
$f:x \mapsto y \quad (x \in A, y \in B)$
$y = f(x)$ と表記する.
単射
$f:A \rightarrow B$$a_0,a_1 \in A$
$a_0 \neq a_1 \Rightarrow f(a_0) \neq f(a_1)$
then $f$を単射という.
全射
$f:A \rightarrow B$$\forall b \in B, \exists a \in A, f(a) = b$
then $f$を全射という.
濃度
$A,B$を集合とする.$A$から$B$への全単射が存在するとき、 $A$と$B$の濃度が等しいという. 集合$A$の濃度を$|A|$と表記する. $A$の要素が有限とのきは、要素の数を濃度とする. 自然数の濃度をアレフゼロとよび、
$|\mathbb{N}| = \aleph _0$ と表記する
Partial order(順序関係)
$X$:集合. 二項関係 $\le$ on $X$ が次の条件を満たすとき,$\le$ を順序と呼び、
* $\forall x \in X, x \le x$
* $\forall x, y \in X, x \le y$ and $y\le x \Rightarrow x = y$.
* $\forall x, y, z \in X, x \le y, y \le z \Rightarrow x \le z$
Partially ordered set(半順序集合)
$X$:集合. $\le$ on $X$:partial order,then $(X,\le)$ is called a partially ordered set(半順序集合).
順序同型
$(S, \le),(S', \le')$:順序集合.$f:S \rightarrow S'$
$\forall a,b \in S, a \le b \Rightarrow f(a) \le' f(b)$
$f$は全単射.
then
$S$と$S'$ は順序同型であるという.
最小元、最大元
$S$:集合$a \in S$が次の条件を満たすとき$S$の最小元と呼び
$\min(S)$ と書く.
$s \in S \Rightarrow a \le s$
最大元も同様に定義され、
$\max(S)$ と書く.
極大元、極小元
$S$:集合$a \in S$が次の条件を満たすとき$S$の極小元と呼ぶ
$\nexists s \in S \quad s.t. \quad s \lt a$
すなわち、比較可能な部分集合の中で最小元となっている.
極大元も同様に定義される
上界、下界
$S$:集合$M \subset S$
$u \in S$ は次の条件を満たすとき$M$の上界と呼ぶ.
$\forall m \in M \Rightarrow m \le u$ 下界も同様に定義される.
下限、上限
$S$:集合$M \subset S$
$U=\{u|$ uは$M$の上界 $\}$
then $\min(U)$ が存在するとき、これを$M$の上限とよび
$\sup(M)$ と書く.
すなわち
下限も同様に定義され、 $\inf(S)$ と書く.
(半)順序集合
$X$ is a Set. $X$ fills one of the following 3 conditions. $a,b\in X$ * $a \le b$ * $a \ge b$ * $a$ and $b$ are uncomparable.全順序集合
$X$ is a Set. $X$ fills one of the following 2 conditions. $a,b\in X$ * $a \le b$ * $a \ge b$整列集合
$S$:半順序集合$S$ の任意の部分集合が最小元を持つとき$S$を整列集合と呼ぶ.
切片
$S$:半順序集合$a \in S$
then
$S\lt a \gt = \{x \in S|x \lt a\}$
を$S$の$a$による切片と呼ぶ.
帰納的順序集合
$X$:半順序集合then
$X$ is a Recursive Set $\Leftrightarrow$ すべての全順序部分集合が上界をもつ
直積
$(A_\lambda|\lambda \in \Lambda)$:集合族$A = \prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$
Aを直積集合という.
$|\Lambda|$ 有限のとき、
$\prod_{i = 1}^n A_i = A_1, A_2, \dots A_n$
$= A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n$
$=\{(a_1,a_2,\dots,a_n)|a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \dots a_n \in A_n\}$ と表現される.
選択関数
$(A_\lambda|\lambda \in \Lambda)$:集合族$\forall \lambda \in \Lambda, A_\lambda \neq \emptyset$ then $f:\Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$
$f:\lambda \mapsto a \in A_\lambda \quad (\lambda \in \Lambda)$ is called 選択関数.