集合の基本的定義

集合の基礎定義

$A,B$:集合
$x \in A$ に対して、一意に$y \in B$を対応させることができるとき、これを"写像"とよび、
$f:A \rightarrow B$
$f:x \mapsto y \quad (x \in A, y \in B)$
$y = f(x)$ と表記する.

単射

$f:A \rightarrow B$
$a_0,a_1 \in A$
$a_0 \neq a_1 \Rightarrow f(a_0) \neq f(a_1)$
then $f$を単射という.

全射

$f:A \rightarrow B$
$\forall b \in B, \exists a \in A, f(a) = b$
then $f$を全射という.

濃度

$A,B$を集合とする.
$A$から$B$への全単射が存在するとき、 $A$と$B$の濃度が等しいという. 集合$A$の濃度を$|A|$と表記する. $A$の要素が有限とのきは、要素の数を濃度とする. 自然数の濃度をアレフゼロとよび、
$|\mathbb{N}| = \aleph _0$ と表記する

順序

$X$:集合. 二項関係 $\le$ on $X$ が次の条件を満たすとき,
$\le$ を順序と呼び、
$(X,\le)$ を順序集合と呼ぶ. * $\forall x \in X, x \le x$ * $\forall x, y \in X, x \le y$ or $y\le x$. * $\forall x, y, z \in X, x \le y, y \le z \Rightarrow x \le z$

順序同型

$(S, \le),(S', \le')$:順序集合.
$f:S \rightarrow S'$
$\forall a,b \in S, a \le b \Rightarrow f(a) \le' f(b)$
$f$は全単射.
then
$S$と$S'$ は順序同型であるという.

最小元、最大元

$S$:集合
$a \in S$が次の条件を満たすとき$S$の最小元と呼び
$\min(S)$ と書く. $s \in S \Rightarrow a \le s$
最大元も同様に定義され、
$\max(S)$ と書く.

上界、下界

$S$:集合
$M \subset S$
$U \subset S$ は次の条件を満たすとき$M$の上界と呼ぶ.
$\forall m \in M, \forall u \in U \Rightarrow m \le u$ 下界も同様に定義される.

下限、上限

$S$:集合
$M \subset S$
$U$:$M$の上界
then $\min(U)$ が存在するとき、これを$M$の上限とよび
$\sup(M)$ と書く.
すなわち
下限も同様に定義され、 $\inf(S)$ と書く.

(半)順序集合

$X$ is a Set. $X$ fills one of the following 3 conditions. $a,b\in X$ * $a \le b$ * $a \ge b$ * $a$ and $b$ are uncomparable.

全順序集合

$X$ is a Set. $X$ fills one of the following 2 conditions. $a,b\in X$ * $a \le b$ * $a \ge b$

整列集合

$S$:半順序集合
$S$ の任意の部分集合が最小元を持つとき$S$を整列集合と呼ぶ.

切片

$S$:半順序集合
$a \in S$
then
$S\lt a \gt = \{x \in S|x \lt a\}$
を$S$の$a$による切片と呼ぶ.

帰納的順序集合

順序集合$X$ then $X$ is a Recursive Set $\Leftrightarrow$ $\forall A \subset X, A$ has a 上限 in $X$.

直積

$(A_\lambda|\lambda \in \Lambda)$:集合族
$A = \prod_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$
Aを直積集合という.
$|\Lambda|$ 有限のとき、
$\prod_{i = 1}^n A_i = A_1, A_2, \dots A_n$
$= A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n$
$=\{(a_1,a_2,\dots,a_n)|a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \dots a_n \in A_n\}$ と表現される.

選択関数

$(A_\lambda|\lambda \in \Lambda)$:集合族
$\forall \lambda \in \Lambda, A_\lambda \neq \emptyset$ then $f:\Lambda \rightarrow \bigcup_{\lambda \in \Lambda} A_\lambda$
$f:\lambda \mapsto a \in A_\lambda \quad (\lambda \in \Lambda)$ is called 選択関数.