部分群の同値条件

Proposition
Let $G$ is set and $H \subset G$. Then, $$H \mbox{ is subgroup of } G \Longleftrightarrow \forall x,y \in H, xy^{-1} \in H$$ (proof)
($\Rightarrow$)
$H$が群を為すことから、任意の$y \in H$に対して, $y^{-1} \in H$である. また同様に 群の性質から$H$は演算で閉じている. 従って, $$\forall x,y \in H, xy^{-1} \in H.$$ ($\Leftarrow$)
$\forall x,y \in H$, $xy^{-1} \in H$を仮定する. $x \in H$を一つ固定する. このとき仮定より $$e = xx^{-1} \in H$$ である. 任意の$y \in H$に対して, 同じく仮定より $$y^{-1} = ey^{-1} \in H$$ またこれより任意の$x, y \in H$に対して, $$xy = x(y^{-1})^{-1} \in H$$ これらの演算は群G上で行われている為, 結合法則は満たされている.
以上より$H$は$G$の部分群である.