有界単調列収束の定理

上に有界単調増加列は収束する

Statement

$$ ( a_n )_{n\in \mathbb{N}},a_n\in\mathbb{R} $$ $$ \exists b\in\mathbb{R},\forall n\in\mathbb{N},a_n < b $$ $$ m,n\in\mathbb{N},m\lt n\Rightarrow a_m \le a_n $$ then $$ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = \sup \{a_n|n\in\mathbb{N}\} $$

proof

$\{a_n\}$ 有界より $\exists s\in\mathbb{R},s=\sup\{a_n\}$
上限 $s$ は最小上界だから $\forall e>0$ に対して $s-e$ は上界ではない
よって $\exists m_0\in\mathbb{N},s-e < a_{m_0}$
$(a_n)$ 単調増加より $m_0 < m \Rightarrow s - e \lt a_{m_0} \le a_m \le s$
すなわち
$$ \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = \sup \{a_n|n\in\mathbb{N}\} $$