アルキメデスの原理

Statement

$$a,b\in\mathbb{R}, a>0, b>0$$ then $$\exists n\in\mathbb{N}, an > b$$

Proof

Let $A = (an)_{n\in\mathbb{N}}$ then statement means $b \notin U(A)$.
Assume $b\in U(A)$. then $a(n+1) - an = a > 0$ $\therefore A$ is simply increasing series. 上に有界単調増加列は収束する(有界単調列.txt)から $$ \lim_{n\rightarrow\infty} an = \sup A$$ 上限の定義から $\sup A - a\notin U(A)$ よって $$ \exists n_0, \sup A - a < an_0 $$ $$ \Rightarrow\sup A < an_0 + a = a(n_0+1)\in A $$ より $\sup A\notin U(A)$ となり、$\sup$ の定義に反する。 よって、 $$ b\notin U(A) $$ が導け、Statementを満たせた。

Statement

アルキメデスの原理を数式で表すと
* $\lim_{n \rightarrow \infty} an = \infty \quad (a \gt 0)$
これは以下と同値
1. $\lim_{n \rightarrow \infty} n = \infty$
2. $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$
3. $\lim_{n \rightarrow \infty} 2^n = \infty$
4. $\lim_{n \rightarrow \infty} 2^{-n} = 0$

Proof

1., 2.
明らか
3., 4.
$n \lt 2^n \Rightarrow n + 1 \lt n + n = 2 * n \lt 2^{n+1} \quad (n \ge 1)$