区間縮小法

区間縮小法

Statement

$(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$ where $I_n$ は有界閉区間 かつ $\forall n\in\mathbb{N},I_{n+1} \subset I_n$
($I_n = [a_n, b_n]$ とする)
and
1. $$ \cap_{n \in \mathbb{N}} I_n \neq \emptyset $$
2. $$\lim_{n \rightarrow \infty} b_n - a_n = 0 \Rightarrow \cap_{n \in \mathbb{N}} I_n = \{a\} (a\in \mathbb{R}) $$
and
$$\lim a_n = \lim b_n = a$$

Proof

(1)の証明
$I_{n+1}\subset I_n \Leftrightarrow a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n \le b_n \le \dots \le b_1 \le b_0$

So

$(a_n)_{n\mathbb{N}}$ is bounded above and $(b_n)_{n\mathbb{N}}$ is bounded below.

有界単調列は収束するので
$\exists a, b \in \mathbb{R}$ such that $\lim a_n = a = \sup\{a_n\}$ and $\lim b_n = b = \inf\{b_n\}$

一方 $\forall n , a_n \le b_n$ より $a \le b$

また $a = \sup\{a_n\}$ and $b = \inf\{b_n\}$ より $a_n \le a$ and $b \le b_n$

よって

$a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n \le a \le b \le b_n \le \dots \le b_1 \le b_0$

すなわち

$$\forall n, [a_n,b_n] \supset [a, b] $$

よって

1. $$ \cap_{n \in \mathbb{N}} I_n \supset [a,b] \neq \emptyset $$

(2)の証明

$\forall c \in \cap_{n \in \mathbb{N}} I_n$

$0 \le |a - c| \le b_n - a_n$

$\lim b_n - a_n = 0$ より $a = c$

よって

$$\cap_{n \in \mathbb{N}} I_n = \{a\}$$

$b$についても同様の議論ができるから

2. $$\lim a_n = \lim b_n = a$$