はさみうちの原理

Statement

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n)_{n\in\mathbb{N}} = a \in \mathbb{R} $$ $$ \lim_{n \rightarrow \infty} (b_n)_{n\in\mathbb{N}} = a \in \mathbb{R} $$ $$ a_n \le b_n \quad (\forall n \in \mathbb{N}) $$ then
$$ (c_n)_{n\in\mathbb{N}} \quad \mathrm{s.t.} \quad a_n \le c_n \le b_n \Rightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} (c_n)_{n\in\mathbb{N}} = a $$

Proof

$\forall \epsilon \gt 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, n \gt n_0 \Rightarrow |a_n - a| \lt \epsilon \quad \mathrm{ and } \quad |b_n - a| \lt \epsilon$
$\Leftrightarrow a - \epsilon \lt a_n \le c_n \le b_n \lt a + \epsilon$
$\Leftrightarrow |a - c_n| \lt \epsilon$
$\Leftrightarrow \lim_{n \rightarrow \infty} (c_n)_{n\in\mathbb{N}} = a$