基本定義
基本定義
* $R^d$ is $d$ 次元ユークリッド空間* $\mathcal{P}(A)$ is $A$の部分集合全体
* $\mathcal{R}(R^d)$ is $d$次元ユークリッド空間の右半開区間の有限個の和
注意1) 区間は $[a,b) \quad a,b \in \mathbb{R}$
注意2) $\mathcal{R}(R^d)$ 有限加法族ではない（なぜなら、$R^d \notin \mathcal{R}(R^d)$
* $\mathcal{M}(R^d)$ is $d$次元ユークリッド空間上の可測集合全体
* $\mathcal{L}(E) \quad E \in R^d$ is $E$上のLebesgue可積分関数全体の集合
* 特性関数
$$\chi_E (x) = \begin{cases} 1 & x \in E \\ 0 & x \notin E \end{cases}$$
* A set $E$ is 零集合 if and only if $m^*(E) = 0$
* a.e.
命題 $P(x)$ がある零集合$N$の点以外のところでなりたつ。すなわち
$$ P(x) \quad (x \notin N) $$ を満たすとき、命題 $P(x)$ はほとんどすべての $x$ に対し成り立つといい、
$$ P(x) \quad a.e.x $$ (または単にa.e.)
と書く
* 単関数
$$ f(x) = \sum_{j=1}^k a_j \chi_{E_j} (x) \quad (E_i \cap E_j = \emptyset , a_i \neq a_j (i \neq j)) $$ * 上半連続、下半連続 $f$ is defined as 上半連続関数 when $$ f:\mathbb{R}^d \longrightarrow \mathbb{R} \cup \{ - \infty \} $$ and $\forall a \in \mathbb{R},\{x \in \mathbb{R}^d|f(x) \lt a\}$ is open set. $f$ is defined as 下半連続関数 when $$ f:\mathbb{R}^d \longrightarrow \mathbb{R} \cup \{ \infty\} $$ and $\forall a \in \mathbb{R},\{x \in \mathbb{R}^d|f(x) \gt a\}$ is open set. when $f$ is 上半連続 and 下半連続, then $f$ is 連続.