ルベーグ積分

ルベーグ積分の定義

Suppose $$ \lim_{p \rightarrow \infty} s_p(x) = f(x) \\ (\forall i,j \in \mathbb{N}, 0 \le s_i(x), i \lt j \Rightarrow s_i(x) \le s_j(x)) $$ then $$ \int_{R^d} f(x)dx := \lim_{p \rightarrow \infty}\int_{R^d} s_p(x) dm(x) $$ where $$ \int_{R^d} s(x)dm(x) := \sum_{j=1}^k a_j m(E_j) $$ where $$ s(x) = \sum_{j=1}^k a_j \chi_{E_j}(x) $$ where $$ \forall i,j \in \{1,2,\dots k\}, E_j \in \mathcal{M}(R^d), a_j > 0, i \neq j \Rightarrow (E_i \cap E_j = \emptyset) $$ とする
1行で書くと $$ \int_{R^d} f(x)dx := \lim_{p \rightarrow \infty}\sum_{j=1}^{k} a^{\lt p\gt}_k m(E^{\lt p \gt}_k) $$ また $f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}$ とし $$ f_+ = \max(f,0)\\ f_- = f_+ - f $$ と定義するとき、明らかに $$ f = f_+ - f_- $$ さらに $$ \int f_+ dm \lt \infty \\ \int f_- dm \lt \infty \\ $$ のとき、$f$ はルベーグ積分可能、もしくは、ルベーグ可積分といい、積分値を $$ \int f dm = \int f_+ dm - \int f_- dm $$ と定義する.

Proposition

ルベーグ積分の定義はWell-Definedである. すなわち
(1)
単関数は表現の仕方によらず $$ \int_{R^d} s(x)dm(x) := \sum_{j=1}^k a_j m(E_j) $$ は一意に定まる. $$ s(x) = \sum_{j=1}^k a_j \chi_{E_j}(x) = \sum_{i=1}^n b_i \chi_{F_i}(x) \\ \Rightarrow\\ \sum_{j=1}^k a_j m(E_j) = \sum_{i=1}^n b_i m(F_i) \quad \left(= \int_{R^d} s(x)dm(x)\right)\\ $$ (2)
$\lim_{p \rightarrow \infty} s_p = \lim_{q \rightarrow \infty} t_q = f$ then $$ \lim_{p \rightarrow \infty}\int_{R^d} s_p(x) dm(x) = \lim_{q \rightarrow \infty}\int_{R^d} t_q(x) dm(x) $$

Proof

(1)
$s(x) = \sum_{h=1}^l c_h \chi_{G_h}(x)$
where
$i \lt j \Rightarrow c_i \lt c_j$
とすると、$s(x)$ は一意に表すことができる.
このとき
$$ G_h = \bigcup_{c_h = a_j} E_j \\ c_h m(G_h) = c_h m(\bigcup_{c_h = a_j} E_j)\\ = c_h \sum_{c_h = a_j} m(E_j)\\ = \sum_{c_h = a_j} a_j m(E_j) $$ $$ \therefore \sum_{h=1}^l c_h \chi_{G_h}(x) = \sum_{j=1}^k a_j \chi_{E_j}(x) \\ $$ 同様にして $$ \sum_{h=1}^l c_h \chi_{G_h}(x) = \sum_{i=1}^n b_i \chi_{F_i}(x) \\ $$ よって $$ \sum_{j=1}^k a_j \chi_{E_j}(x) = \sum_{i=1}^n b_i \chi_{F_i}(x) \\ $$ (2) $$ \lim_{p \rightarrow \infty} s_p(x) = \lim_{q \rightarrow \infty} t_q(x) = f(x)\\ \Rightarrow \lim_{p \rightarrow \infty} s_p(x) \le \lim_{q \rightarrow \infty} t_q(x)\\ \lim_{p \rightarrow \infty} s_p(x) \ge \lim_{q \rightarrow \infty} t_q(x) $$ 以下 Lemma (2) - 2 より $$ \lim_{p \rightarrow \infty}\int_{R^d} s_p(x) dm(x) \le \lim_{q \rightarrow \infty}\int_{R^d} t_q(x) dm(x)\\ \lim_{p \rightarrow \infty}\int_{R^d} s_p(x) dm(x) \ge \lim_{q \rightarrow \infty}\int_{R^d} t_q(x) dm(x)\\ \therefore \lim_{p \rightarrow \infty}\int_{R^d} s_p(x) dm(x) = \lim_{q \rightarrow \infty}\int_{R^d} t_q(x) dm(x) $$

Lemma (2) - 1

$s(x), t(x)$ :非負単関数. then
(1) $\int(s + t)dm = \int sdm + \int tdm$
(2) $s \le t \Rightarrow \int sdm \le \int tdm$

Proof

(1) $$ s(x) = \sum_i a_i \chi_{E_i}(x) \quad a_i \ge 0, \bigcup_i E_i = \mathbb{R}^d\\ t(x) = \sum_j b_j \chi_{F_j}(x) \quad b_j \ge 0, \bigcup_j F_j = \mathbb{R}^d $$ と表現する.
このとき $\{E_i \cap F_j\}$ は互いに素で $$ E_i = \bigcup_j E_i \cap F_j\\ F_j = \bigcup_i E_i \cap F_J\\ \mathbb{R}^d = \bigcup_{i,j} E_i \cap F_j $$ より $$ s(x) + t(x) = \sum_{i,j} (a_i + b_j) \chi_{E_i \cap F_j}\\ \therefore \int (s + t) dm = \sum_{i,j} (a_i + b_j) m(E_i \cap F_j)\\ = \sum_{i,j} a_i m(E_i \cap F_j) + \sum_{i,j} b_j m(E_i \cap F_j)\\ = \sum_{i} a_i m(E_i) + \sum_{j} b_j m(F_j)\\ = \int s dm + \int t dm $$ (2)
$s \le t$ より $u = t - s$ とすると$u$は非負単関数.
$t = s + u$より $$ \int t dm = \int (s + u) dm \ge \int sdm $$

Lemma (2) - 2

$\{s_p(x)\}, \{t_q(x)\}$ :単調増加非負単関数列. then
$$ \lim_{p \rightarrow \infty} s_p(x) \le \lim_{q \rightarrow \infty} t_q(x) \\ \Rightarrow \lim_{p \rightarrow \infty} \int s_p(x) dm \le \lim_{q \rightarrow \infty} \int t_q(x) dm \\ $$

Proof

qを固定して $$ t_q(x) = \sum_j^k b_j \chi_{F_j}(x) \quad b_j \gt 0, \{F_j\} (F_i \cap F_j = \emptyset) $$ と置く.
(i) $\forall q \in \mathbb{N}, \int t_q(x) dm \lt \infty$ のとき
このとき $m(\bigcup_j F_j) \lt \infty$ が言える.
$F = \bigcup_j F_J$ と置く.
$\epsilon > 0$ を固定する.
$E_p = \{ x \in F | s_p(x) + \epsilon \gt t_q(x)\}$ と置く.
$\lim_{p \rightarrow \infty} E_p = F$
$\lim_{p \rightarrow \infty}m(F - E_p) = \emptyset$
$$ \int t_q dm = \int(t_q \chi_{F - E_p} + t_q \chi_{E_p}) dm\\ = \int t_q \chi_{F - E_p} dm + \int t_q \chi_{E_p} dm\\ \le \sup_x t_q(x) \cdot m(F - E_p) + \int (s_p(x) + \epsilon) dm\\ \le \epsilon \cdot \sup_x t_q(x) + \epsilon \cdot m(E_p) + \int s_p(x) dm $$ よって $p \rightarrow \infty$ として $$ \int t_q dm \le \epsilon \cdot (\sup_x t_q(x) + m(E_p)) + \lim_{p \rightarrow \infty} \int s_p dm $$ $q \rightarrow \infty$, $\epsilon \rightarrow \infty$ として $$ \lim_{q \rightarrow \infty} \int t_q dm \le \lim_{p \rightarrow \infty} \int s_p dm $$ (ii) $\exists q \in \mathbb{N} \int t_q(x) dm = \infty$ のとき
$t_q = \sum_j b_j \chi_{F_j} \quad (b \gt 0, F_i \cap F_j = \emptyset)$ と置く.
仮定より $\exists j, b_j \cdot m(F_j) = \infty \therefore m(F_j) = \infty$
$F_j^n = \{|x| \lt n\} \cap F_j$ と置くと $\lim_{n \rightarrow \infty} F_j^n = F_j$
よって $\lim_{n \rightarrow \infty} m(F_j^n) = \infty$
$\therefore \forall N, \exists n, b_j m(F_j^n) \gt N$
よって
$\exists q \in \mathbb{N}, \forall N, \exists F(=F_j^n), \exists a(=b_j) \gt 0$ such that
$a \chi_F(x) \lt t_q(x) \quad (x \in \mathbb{R}^d)$ and $N \lt \int a \chi_F(x) dm \lt \infty$

$a \chi_F(x) \lt t_q(x)$ より $a \chi_F(x) \lt \lim_{q \rightarrow \infty} t_q(x)$
および $\lim_{q \rightarrow \infty} t_q(x) \le \lim_{p \rightarrow \infty} s_p(x)$ の条件より
$a \chi_F(x) \lt \lim_{p \rightarrow \infty} s_p(x)$

$\therefore N \lt \int a \chi_F dm \le \lim_{p \rightarrow \infty} \int s_p dm$
$N$ は任意だから
$$ \lim_{p \rightarrow \infty} \int s_p dm = \infty $$