可測とルベーグ測度
Definition カラテオドリの条件
$m^*$ is 外測度$\forall A \in \mathcal{P}(R^d)$
when 集合$E$ fills following
$$ m^*(A) = m^*(A\cap E) + m^*(A - E) $$ then
$E$ is called Lebesgue可測 or 可測
Definition 可測集合
$$ \mathcal{M}(R^d) = \{E | E \subset R^d , E\text{ is 可測} \} $$ $\mathcal{M}(R^d)$ は $R^d$ の可測集合全体を表すDefinition 零集合
* A set $E$ is 零集合 if and only if $m^*(E) = 0$Theorem
Statement
零集合は可測集合Proof
(1)$m^*$ is 外測度(「02.測度」を参照) $$ \therefore m^*(A) \le m^*(A\cap E) + m^*(A - E) $$ (2)
Suppose E is 零集合(すなわち$m^*(E) = 0$), then
$\therefore m^*(A\cap E) \le m^*(E) = 0$
また
$A \supset A - E$より$m^*(A) \ge m^*(A-E)$
$$ \therefore m^*(A) \ge m^*(A - E) = m^*(A\cap E) + m^*(A - E) $$ (1), (2)より
$$ m^*(A) = m^*(A\cap E) + m^*(A - E) $$ よって題意は証明された。
Definition ルベーグ測度
$$ \tilde{m} = m^*|_{\mathcal{M}(\mathbb{R}^d)} $$Theorem
Statement
(1) $\mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ is $\sigma$-加法族 and $\mathcal{R}(\mathbb{R}^d) \subset \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$(2) $\tilde{m}$ は $\mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ 上の測度
Proof
(1) の証明$O = \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ とおく。
* (i) $F_n \in O \quad (n \in \mathbb{N}) \Rightarrow \cup_{n \in \mathbb{N}} F_n \in O$
* (ii) $F, G \in O \Rightarrow F - G \in O$
* (iii) $S \in O$
を示す。
(iii)
$\forall A \in \mathbb{R}^d$
* $m^*(A) = m^*(A \cap \mathbb{R}^d)$
* $m^*(A - \mathbb{R}^d) = m^*(\emptyset) = 0$
$\therefore m^*(A) = m^*(A \cap \mathbb{R}^d) + m^*(A - \mathbb{R}^d)$
(ii)
$A \cap (F - G) = A \cap (F \cap G^c) = (A \cap G^c) \cap F$
$\therefore m^*(A \cap (F - G)) = m^*((A \cap G^c) \cap F) \quad \longrightarrow (a)$
$G \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ より
$m^*(A \cap (F - G)^c) = m^*(A \cap (F - G)^c \cap G) + m^*(A \cap (F - G)^c \cap G^c)$
$=m^*(A \cap G) + m^*((A \cap G^c) \cap F^c) \quad \longrightarrow (b)$
$(\because$
$A \cap (F - G)^c \cap G = A \cap (F \cap G^c)^c \cap G = A \cap (F^c \cup G) \cap G = A \cap G$
$A \cap (F - G)^c \cap G^c = A \cap (F \cap G^c)^c \cap G^c = A \cap (F^c \cup G) \cap G^c =A \cap F^c \cap G^c)$
$F \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ より
$m^*((A \cap G^c) \cap F) + m^*((A \cap G^c) \cap F^c) = m^*(A \cap G^c) \quad \longrightarrow (c)$
$$ m^*(A \cap (F - G)) + m^*(A \cap (F - G)^c)\\ = m^*((A \cap G^c) \cap F) + m^*(A \cap G) + m^*((A \cap G^c) \cap F^c)\\ = m^*(A \cap G^c) + m^*(A \cap G)\\ = m^*(A) $$ $\therefore F - G \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$
(i)
まず
$\forall k \in \mathbb{N}, F_n \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d), F_i \cap F_j = \emptyset (\forall i,j \in \mathbb{N})$
$\Rightarrow m^*(A) \ge \sum_{n = 1}^k m^*(A \cap F_n) + m^*(A - \cup_{n = 1}^k F_n)$
を帰納法により示す。
$n=1 \Rightarrow m^*(A) \ge m^*(A \cap F_1) + m^*(A - F_1) \quad \because F_1 \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$
$n=k$ のとき
$m^*(A) \ge \sum_{n = 1}^k m^*(A \cap F_n) + m^*(A - \cup_{n = 1}^k F_n)$
を仮定する
$m^*(A) \ge m^*(A \cap F_{k+1}) + m^*(A - F_{k+1})$
$\ge m^*(A \cap F_{k+1}) + \left\{ \sum_{n = 1}^k m^*((A - F_{k+1}) \cap F_n) + m^*((A - F_{k+1}) - \cup_{n = 1}^k F_n) \right\}$
$F_i \cap F_j = \emptyset (\forall i,j \in \mathbb{N})$
より
$(A - F_{k+1}) \cap F_n = A \cap F_n$
$(A - F_{k+1}) - \cup_{n = 1}^k F_n = A - \cup_{n = 1}^{k + 1} F_n$
$\therefore m^*(A) \ge m^*(A \cap F_{k+1}) + \sum_{n = 1}^{k} m^*(A \cap F_n) + m^*((A - \cup_{n = 1}^{k+1} F_n)$
$= \sum_{n = 1}^{k+1} m^*(A \cap F_n) + m^*((A - \cup_{n = 1}^{k+1} F_n)$
よって帰納法は成立した
$k \rightarrow \infty$ でも成り立つので
$\forall k \in \mathbb{N}, F_n \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d), F_i \cap F_j = \emptyset (\forall i,j \in \mathbb{N})$
$\Rightarrow m^*(A) \ge \sum_{n = 1}^{\infty} m^*(A \cap F_n) + m^*(A - \cup_{n=1}^{\infty} F_n)$
$\sum_{n = 1}^{\infty} m^*(A \cap F_n) \ge m^*(\cup_{n=1}^{\infty} (A \cap F_n)) = m^*(A \cap \cup_{n=1}^{\infty} F_n)$
$\therefore m^*(A) \ge m^*(A \cap \cup_{n=1}^{\infty} F_n) + m^*(A - \cup_{n=1}^{\infty} F_n)$
この不等式が $F_i \cap F_j = \emptyset (\forall i,j \in \mathbb{N})$ の条件がなくても成り立つことを示す。
$\forall k \in \mathbb{N}, F_n \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$
$\Rightarrow \cup_{n=1}^{\infty} F_n = F_1 \cup F_2 - F_1 \cup F_3 - F_2 - F_1 \cup \cdots$
$E_k = F_k - \bigcup_{n=1}^{k-1} F_n$ とおくと
$\cup_{n=1}^{\infty} F_n = \cup_{n=1}^{\infty} E_n$,
$E_j \cap E_i = \emptyset \quad (\forall i,j \in \mathbb{N})$,,
$E_k \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d) \quad (\forall k \in \mathbb{N})$
以上により(i)が証明された.
(2) の証明
(i) $\tilde{m}(\emptyset) = 0$
(ii) $\tilde{m}(\cup_{n=1}^{\infty} F_n) = \sum_{n = 1}^{\infty} m^*(F_n) \quad F_i \cap F_j = \emptyset \quad F_i \cap F_j$
を示す
(i)
$x \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d) \Rightarrow \tilde{m}(x) = m^*(x)$
$m^*$ is 外測度 $\therefore \tilde{m}(\emptyset) = m^*(\emptyset) = 0$
(ii)
前の証明で示された
$\forall k \in \mathbb{N}, F_n \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d), F_i \cap F_j = \emptyset (\forall i,j \in \mathbb{N})$ $\Rightarrow m^*(A) \ge \sum_{n = 1}^{\infty} m^*(A \cap F_n) + m^*(A - \cup_{n=1}^{\infty} F_n)$
に対して$A = \cup_{k=1}^{\infty} F_k$ を代入すると
$m^*(\cup_{n=1}^{\infty} F_n) \ge \sum_{n = 1}^{\infty} m^*(\cup_{k=1}^{\infty} F_k \cap F_n) = \sum_{n = 1}^{\infty} m^*( F_n)$
$m^*(\cup_{n=1}^{\infty} F_n) \le \sum_{n = 1}^{\infty} m^*( F_n)$ は $m^*$ が外測度であるから一般的に成り立つ
$\therefore m^*(\cup_{n=1}^{\infty} F_n) = \sum_{n = 1}^{\infty} m^*( F_n)$
$F_n \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ および $\cup_{n=1}^{\infty} F_n \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$
より
$\tilde{m}(\cup_{n=1}^{\infty} F_n) = m^*(\cup_{n=1}^{\infty} F_n)$ および $\tilde{m}( F_n) = m^*( F_n)$
$\therefore \tilde{m}(\cup_{n=1}^{\infty} F_n) = \sum_{n = 1}^{\infty} \tilde{m}( F_n)$
となり $\tilde{m}$ は測度となる.
Theorem
$\mathcal{M}, \tilde{m}$ は $\mathcal{R}, m$ の拡張であるすなわち
(1) $\mathcal{R}(\mathbb{R}^d) \subset \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ (2) $\tilde{m}|_{\mathcal{R}(\mathbb{R}^d)} = m$
Proof
(1)$E \in \mathcal{R}(\mathbb{R}^d) \Rightarrow m^*(A) \ge m^*(A \cap E) + m^*(A - E) \quad \forall A \in \mathcal{P}(R^d)$ を示す.
$A \subset \bigcup_{j=1}^\infty E_j \quad E_j \in \mathcal{R}(\mathbb{R^d})$
なる $\{E_j\}$ をとる.
$A \cap E \subset \bigcup_{j=1}^\infty E_j \cap E$, $A - E \subset \bigcup_{j=1}^\infty (E_j - E)$, $m$ が測度であること、 および $m^*$ の定義より
$\sum_{j=1}^\infty m(E_j) = \sum_{j=1}^\infty ( m(E_j \cap E) + m(E_j - E) )$ $\ge m^*(A \cap E) + m^*(A - E)$ $A$ の被覆 $\{E_j\}$ によって、左辺の下限 $\inf$ をとっても不等号は変わらないので
$m^*(A) = \inf \sum_{j=1}^\infty m(E_j) \ge m^*(A \cap E) + m^*(A - E)$ となり
$E \in \mathcal{M}(\mathbb{R}^d)$ が証明された.
(2)
$\tilde{m} = m^*|_{\mathcal{M}}$, $m^*|_{\mathcal{R}} = m$, $\mathcal{R} \subset \mathcal{M}$ より
$\tilde{m}|_{\mathcal{R}} = m^*|_{\mathcal{R}} = m$