ルベーグ収束定理

B.Leviの定理

Statement

$\{u_j\}_{j=1}^{\infty}$ を非負可測関数列とする.
then $$ \int(\sum_{j=1}^{\infty} u_j)dm = \sum_{j=1}^{\infty} \int u_j dm $$

Proof

Corollary 1

Statement

$0 \le f_1(x) \le f_2(x) \le \cdots$
then $$ \int(\lim_{j \rightarrow \infty} f_j)dm = \lim_{j \rightarrow \infty} \int f_j dm $$

Proof

Corollary 2

Statement

* $f \in \mathcal{L}^1$
* $E = \cup E_j \quad E_i \cap E_j = \emptyset (i \neq j)$
then
$$ \int_E f dm = \sum_{j=1}^{\infty} \int_{E_j} f dm $$

Proof

Fatouの補題

Statement

$f_j \ge 0$ then
$$ \int \lim_{j \rightarrow \infty} \inf f_j(x)dm \le \lim_{j \rightarrow \infty} \inf \int f_j(x)dm = $$

Proof

Lebegueの収束定理

Statement

$\{f_j\}$ は以下を満たす関数列とする.
* $\forall j, f_j$ は概収束する.
* $\exists g \in \mathcal{L}^1, \forall j, |f_j(x)| \le g(x) \quad a.e.x$
then $$ \lim_{j \rightarrow \infty} \int f_j(x)dm = \int \lim_{j \rightarrow \infty} f_j(x)dm $$

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有界収束定理

Statement

Proof

Statement

* $m(E) \lt \infty$
* $\{f_j\}$ は $E$ 上の関数列
* a$f_j$ は $E$ 上で外収束する
* $\exists M, \forall j, |f_j(x) \le M \quad a.e.x$
then $$ \lim_{j \rightarrow \infty} \int f_j(x)dm = \int \lim_{j \rightarrow \infty} f_j(x)dm $$

Proof

$\in \mathcal{L}^1|$