ルベーグ収束定理
B.Leviの定理
Statement
$\{u_j\}_{j=1}^{\infty}$ を非負可測関数列とする.
then
$$
\int(\sum_{j=1}^{\infty} u_j)dm = \sum_{j=1}^{\infty} \int u_j dm
$$
Proof
Corollary 1
Statement
$0 \le f_1(x) \le f_2(x) \le \cdots$
then
$$
\int(\lim_{j \rightarrow \infty} f_j)dm = \lim_{j \rightarrow \infty} \int f_j dm
$$
Proof
Corollary 2
Statement
* $f \in \mathcal{L}^1$
* $E = \cup E_j \quad E_i \cap E_j = \emptyset (i \neq j)$
then
$$
\int_E f dm = \sum_{j=1}^{\infty} \int_{E_j} f dm
$$
Proof
Fatouの補題
Statement
$f_j \ge 0$ then
$$
\int \lim_{j \rightarrow \infty} \inf f_j(x)dm \le
\lim_{j \rightarrow \infty} \inf \int f_j(x)dm =
$$
Proof
Lebegueの収束定理
Statement
$\{f_j\}$ は以下を満たす関数列とする.
* $\forall j, f_j$ は概収束する.
* $\exists g \in \mathcal{L}^1, \forall j, |f_j(x)| \le g(x) \quad a.e.x$
then
$$
\lim_{j \rightarrow \infty} \int f_j(x)dm = \int \lim_{j \rightarrow \infty} f_j(x)dm
$$
Proof
有界収束定理
Statement
Proof
Statement
* $m(E) \lt \infty$
* $\{f_j\}$ は $E$ 上の関数列
* a$f_j$ は $E$ 上で外収束する
* $\exists M, \forall j, |f_j(x) \le M \quad a.e.x$
then
$$
\lim_{j \rightarrow \infty} \int f_j(x)dm = \int \lim_{j \rightarrow \infty} f_j(x)dm
$$
Proof
$\in \mathcal{L}^1|$