リーマン積分とルベーグ積分

Definition リーマン積分とルベーグ積分の表記

以後、リーマン積分とルベーグ積分を明確に表記するために、それぞれ $$ \mathcal{R} \int_I f dx\\ \mathcal{L} \int_I f dx\\ $$ と表記する.

Lemma 関数の上限下限とルベーグ積分の関係

Suppose $$ \overline{f}(x) = \inf_{\delta \gt 0} \sup_{|x - y| \lt \delta} f(y) $$ $$ \underline{f}(x) = \sup_{\delta \gt 0} \inf_{|x - y| \lt \delta} f(y) $$ then
$\overline{f}$ is 上半連続.
$\underline{f}$ is 下半連続.
したがって
$\overline{f}, \underline{f}$ is 可測.

Proof

$\forall a \in \mathbb{R},\{x \in \mathbb{R}|\overline{f}(x) \lt a\}$ が開集合であることを示す.
$\Leftrightarrow$
$\forall s \in \{x \in \mathbb{R}|\overline{f}(x) \lt a\}$ が内点.
$\Leftrightarrow$
$\exists \delta, |y - s| \lt \delta \Rightarrow \overline{f}(y) \lt a$
が言えればよい.
$\overline{f}(s) \lt a$
および
$\overline{f}(s) = \inf_{\delta \gt 0} \sup_{|z - s| \lt \delta} f(z)$
より
$\exists \delta, \sup_{|z - s| \lt 2\delta} f(z) \lt a$
この $\delta$ に対して $|y - s| \lt \delta$ とする.
さらに、$|z - y| \lt \delta$ とすると
$$ |z - s| \lt |z - y| + |y - x| \lt \delta + \delta = 2\delta $$ となるので、 $$ \{ z: |z - y| \lt \delta \} \subset \{ z: |z - s| \lt 2\delta \} $$ よって $$ \overline{f}(y) \lt \sup_{|z - y| \lt \delta} f(z) \lt \sup_{|z - s| \lt 2\delta} f(z) \lt a $$ となり $$ \exists \delta, |y - s| \lt \delta \Rightarrow \overline{f}(y) \lt a $$ が示せた.
$\overline{f}(x)$ が上半連続であることは可測関数の定義そのものだから可測であることは明らか.
同様にして
$\underline{f}(x)$ が下半連続、可測関数であることが言える.

Theorem リーマン積分とルベーグ積分の同値条件

Statement

$$ \overline{\int}_I f dx = \inf_{\Delta} \overline{s}(f,\Delta) \\ \underline{\int}_I f dx = \sup_{\Delta} \underline{s}(f,\Delta) \\ $$ とするとき $$ \overline{\int}_I f dx = \mathcal{L} \int_I \overline{f} dm\\ \underline{\int}_I f dx = \mathcal{L} \int_I \underline{f} dm\\ $$

Proof