01.2.群の基本定理

巡回群の可換性

Statement

$G$: 巡回群 $\Rightarrow G$ :可換である

Proof

Let $G = \langle a \rangle$.
Then
$\forall x,y \in G, \exists m, n \in \mathbb{N}, x = a^m, y = a^n$
$\therefore x \cdot y = a^m \cdot a^n = a^{m + n} = a^{n + m} = a^n \cdot a^m = y \cdot x$
QED

剰余類の指数

Statement

$G$:Group
$H$:Subgroup
$\forall a,b \in G$
(1) $|aH| = |bH|$
(2) $aH \cap bH \neq \emptyset \Rightarrow aH = bH$
therefore
$|G| = (G:H) \cdot |H|$

Proof

(1)
Let
$a \in G$
$f:H \rightarrow aH$
$f:x \in H \mapsto ax \in aH$
* $a = e$
$f(x) = x \therefore f$ は全単射
* $a \neq e$
$x,y \in H$
$ax = ay \Rightarrow x = a^{-1}ax = a^{-1}ay = y \therefore f$ は単射
全射は明らか
$\therefore \forall a,b \in G, |aH| = |bH|$
(2)
Let
$c \in aH \cap bH$
then
$a^{-1}c \in H$
$c^{-1}a \in H$
$b^{-1}c \in H$
$\forall x \in aH$
$a^{-1}x \in H$
$\therefore (b^{-1}c)(c^{-1}a)(a^{-1}x) = b^{-1} x \in H$
$\therefore x \in bH$
$\therefore aH \subset bH$
同様にして $bH \subset aH$
$\therefore aH = bH$

Proposition

素数位数の群

Statement

$G$:群
$|G| = p$:素数 $\Rightarrow G$ :巡回群($\therefore$可換群)

Proof

Let
$x \in G, x \neq e$
$H = \langle x \rangle$
then
$|H| \mid |G| = p$(素数)
$\therefore |H|= p$
$\therefore G = H = \langle x \rangle$
QED

中心化群

Statement

$G$:群
$a \in G$
$Z(a)$ is a subgroup of $G$

Proof

Let
$x,y \in Z(a) \Leftrightarrow xax^{-1} = a, yay^{-1} = a$
(1)
$\therefore xya(xy)^{-1} = xyay^{-1}x^{-1} = xax^{-1} = x$
$\therefore xy \in Z(a)$
(2)
$xax^{-1} = a$
$\Leftrightarrow x^{-1}xax^{-1}x = x^{-1}ax$
$\Leftrightarrow s = x^{-1}ax$
$\therefore x^{-1} = Z(a)$
(3)
$ese^{-1} = s \therefore e \in Z(a)$

共役類の位数

Statement

$G$:群
$a \in G$
$|K(a)| = (G:Z(a))$

Proof

Let
$f:G \rightarrow K(a)$
$f:x \mapsto xax^{-1}$
$g:K(a) \rightarrow G/Z(a)$
$g:xax^{-1} \mapsto xZ(a) \quad (x \in G)$
$K(a)$ の定義から $f$ は全射
$\therefore g$ も全射.
when
$f(x) = f(y)$
$\Leftrightarrow xax^{-1} = yay^{-1}$
$y^{-1}xax^{-1}y = a$
$y^{-1}xa(y^{-1}x)^{-1} = a$
$y^{-1}x \in Z(a)$
$y \in xZ(a)$
$y \sim x \quad (G/Z(a))$
$\therefore g$ は単射.
$\therefore g$ は全単射.
$\therefore |K(a)| = (G:Z(a))$.
QED

クラインの4元群と正規部分群

Statement

クラインの4元群は$S_4$の正規部分群である.
Let $V$ Klein four-group
$V = \{e, (1 \ 2)(3 \ 4), (1 \ 3)(2 \ 4), (1 \ 4)(2 \ 3)\}$
then
$S_4 \triangleright V$

Proof

$S_4 = \langle \{(1 \ 2),(1 \ 3),(1 \ 4),(2 \ 3),(2 \ 4),(3 \ 4) \} \rangle$
6つの生成元をそれぞれ$x_1,\cdots,x_6$とおくと
$\forall x \in S_4, \exists x_i, \cdots , x_j, x = x_i \cdots x_j$ $xVx^{-1} = x_i \cdots x_j V x_j^{-1} \cdots x_i^{-1}$
したがって、$\forall i \in 1 \cdots 6, x_i V x_i^{-1} = V$を示せばよい.
$x_1 e x_1^{-1} = (1 \ 2)e(1 \ 2) = e \in V$
$x_1 (1 \ 2)(3 \ 4) x_1^{-1} = (1 \ 2)(1 \ 2)(3 \ 4)(1 \ 2) = (1 \ 2)(3 \ 4) \in V$
$x_1 (1 \ 3)(2 \ 4) x_1^{-1} = (1 \ 2)(1 \ 3)(2 \ 4)(1 \ 2) = (1 \ 4)(2 \ 3) \in V$
$x_1 (1 \ 4)(2 \ 3) x_1^{-1} = (1 \ 2)(1 \ 4)(2 \ 3)(1 \ 2) = (1 \ 3)(2 \ 4) \in V$
$x_2 \cdots x_6$も同様に計算することで
$\forall x \in S_4, xVx^{-1} = V$
$\therefore S_4 \triangleright V$

交代群と3文字の巡回置換が生成する群

Statement

n次交代群 $A_n \quad (n \ge 3)$ は3文字の置換 $(i \ j \ k) \quad (1 \le i \lt j \lt k \le n)$ によって生成される

Proof

$(i \ j \ k) = (i \ k)(i \ j)$
$\therefore (i \ j \ k)(l \ m \ n)\cdots(o \ p \ q) \in A_n$
一方
互換２つの積の組み合わせは
$(i \ j)(i \ j) = (i \ j \ k)^3$
$(i \ j)(i \ k) = (i \ k \ j)$
$(i \ j)(k \ l) = (i \ k \ j)(i \ k \ l)$
のいずれかである.
ゆえに主張は証明された.

p-群

Statement

$G$:$p$-群
then
$Z(G) \neq \{e\}$

Proof

位数が素数の平方数の群

Statement

$G$:群
$|G| = p^2$ ($p$:素数)
then
$G$は可換群.

Proof