リーマン積分
Definition リーマン積分
Suppose
$$
I = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \cdots \times [a_d, b_d] \in \mathbb{R}^d
$$
then $|I|$ (measure of $I$) defined below
$$
|I| = (a_1, b_1) (a_2, b_2) \cdots (a_d, b_d)
$$
* 各区間が開区間、半閉半開区間であっても $|I|$ は同じく定義される.
Suppose
$$
f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}
$$
and
区間列 $\Delta = \{I_j:j=1,\dots, k\} \quad (I_i \cap I_J = \emptyset, (i \neq j))$
を定義するとき
$$
\overline{f_j} = \sup_{x \in I_j} f(x) \\
\underline{f_j} = \inf_{x \in I_j} f(x) \\
\overline{s}(f,\Delta) = \sum_{j=1}^k \overline{f_j} |I_J| \\
\underline{s}(f,\Delta) = \sum_{j=1}^k \underline{f_j} |I_J| \\
$$
と定義する.
Darboux(ダルブー)の上積分、下積分 is defined by
$$
\overline{\int}_I f dx = \inf_{\Delta} \overline{s}(f,\Delta) \\
\underline{\int}_I f dx = \sup_{\Delta} \underline{s}(f,\Delta) \\
$$
If
$$
\overline{\int}_I f dx = \underline{\int}_I f dx\\
$$
then
Riemann積分 is defined by
$$
\mathcal{R} \int_I f dx = \overline{\int}_I f dx = \underline{\int}_I f dx\\
$$