リーマン積分

Definition リーマン積分

Suppose $$ I = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \cdots \times [a_d, b_d] \in \mathbb{R}^d $$ then $|I|$ (measure of $I$) defined below $$ |I| = (a_1, b_1) (a_2, b_2) \cdots (a_d, b_d) $$ * 各区間が開区間、半閉半開区間であっても $|I|$ は同じく定義される.
Suppose $$ f:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R} $$ and
区間列 $\Delta = \{I_j:j=1,\dots, k\} \quad (I_i \cap I_J = \emptyset, (i \neq j))$ を定義するとき
$$ \overline{f_j} = \sup_{x \in I_j} f(x) \\ \underline{f_j} = \inf_{x \in I_j} f(x) \\ \overline{s}(f,\Delta) = \sum_{j=1}^k \overline{f_j} |I_J| \\ \underline{s}(f,\Delta) = \sum_{j=1}^k \underline{f_j} |I_J| \\ $$ と定義する.
Darboux(ダルブー)の上積分、下積分 is defined by $$ \overline{\int}_I f dx = \inf_{\Delta} \overline{s}(f,\Delta) \\ \underline{\int}_I f dx = \sup_{\Delta} \underline{s}(f,\Delta) \\ $$ If $$ \overline{\int}_I f dx = \underline{\int}_I f dx\\ $$ then
Riemann積分 is defined by $$ \mathcal{R} \int_I f dx = \overline{\int}_I f dx = \underline{\int}_I f dx\\ $$